Analisi Tecnica F1 | Aerodinamica: le equazioni di Navier Stokes

Il fluido che ci circonda

Navier Stokes

Grazie al cielo viviamo immersi in un fluido! L’atmosfera terrestre è infatti un miscuglio di gas e vapori che possiamo amichevolmente permetterci di chiamare “aria” la cui presenza è senza dubbio essenziale per la vita della maggior parte degli organismi animali e vegetali.

L’aria è composta per il 78% in frazione molare di azoto, per il 21% di ossigeno e per il restante 1% da altri gas tra i quali il più abbondante è l’argon seguito dall’anidride carbonica. Se in passato i filosofi greci consideravano l’aria come il più leggero e forse anche il più importante tra gli elementi, oggi invece ci siamo specializzati, per farla breve, in due cose: respirarla (e questo non sempre è stato banale) e fargli compiere lavoro (e questo banale non lo è tuttora).

In questo articolo il mio compito sarà dunque quello di far luce su come l’uomo possa sfruttare il fatto che l’aria, per quanto invisibile, insapore e inodore possa sembrare, ha un effetto decisamente non trascurabile sui fenomeni che ci circondano.

D’ora in poi definiremo un fluido come una sostanza che si deforma continuamente sotto l’azione di forze tangenziali. In altre parole, un fluido può reagire ad una forza su di esso applicata solo mettendosi in movimento: ecco che la fluidodinamica viene ad essere, allora, la scienza che si occupa di studiare il moto di un fluido e in particolare il rapporto causa-effetto che intercorre tra l’applicazione di una certa forza, di una certa pressione o di una certa quantità di calore su di un fluido che investe una determinata geometria.

Le equazioni che spiegano il moto dei fluidi

Le equazioni della fluidodinamica sono parecchio complicate, tanto che sono state inserite nella lista dei problemi matematici del millennio ed è persino prevista una discreta sommetta a chi riuscisse a trovare una soluzione analitica, ma in fin dei conti le equazioni di Navier Stokes non sono altro che equazioni di conservazione. C’è il bilancio della massa:

\frac{D\rho}{Dt}+\rho div{\vec{v}}=0

Dove  \rho è la densità, t è il tempo e \vec{v} è il campo tridimensionale di velocità. I simboli D/Dt e div(...) rappresentano rispettivamente la variazione di una certa grandezza rispetto al tempo e rispetto allo spazio. Il bilancio di massa allora ci assicura, brutalmente, che “tanta aria deve entrare, tanta aria deve uscire” e che quindi ci sarà una correlazione tra la densità e il volume proprio di un fluido. C’è il bilancio della quantità di moto rispetto alle tre direzioni dello spazio:

i \rho\frac{Dv_x}{Dt}=\rho f_x -\frac{dP_E}{dx}+div(\vec{\tau_V})

l \rho \frac{Dv_y}{Dt}=\rho f_y -\frac{dP_E}{dy}+div(\vec{\tau_V})

i \rho \frac{Dv_z}{Dt}=\rho f_z -\frac{dP_E}{dz}+div(\vec{\tau_V})

che in fisica da scuole superiori è conosciuto come la seconda legge del moto di Newton, proprio lei, quella per cui la forza era uguale alla massa per l’accelerazione: in fluidodinamica, questo si traduce in una corrispondenza tra la variazione della velocità  del fluido nel tempo e le forze \vec{f}, la pressione P_E e gli sforzi viscosi \vec{\tau_V} ad esso applicati. C’è infine il bilancio di energia:

\rho \frac{D}{Dt} (e+\frac{v^2}{2})=\rho \vec{f}\cdot \vec{v} - div(P_E \vec{v}) +\begin{matrix} \sum_{i=1}^3 div(\vec{\tau_V}_i u_i) \end{matrix}- div(\vec{q})

Il quale, similmente al primo principio della termodinamica, stabilisce che la variazione del tempo dell’energia interna e% di;un fluido dipenda dal lavoro compiuto dalle forze di volume \vec{f}, dalle forze di pressione P_E, dalle forze viscose \vec{\tau_V} e;dal flusso di calore \vec{q} ad esso applicati. Mettendo insieme tutte queste equazioni che abbiamo scritto otteniamo un sistema di equazioni differenziali evolutive, alle derivate parziali spaziali e non lineare.

C’è qualcosa di peggio? Certo che sì. Basta contare il numero delle incognite: la densità (1), le velocità (3), gli sforzi viscosi lungo le tre direzioni (6), il flusso di calore lungo le;tre direzioni (3), la pressione (1) e l’energia interna (1). Abbiamo in tutto la bellezza di 15 incognite contro 5 equazioni scalari!

Uno dei teoremi più importanti dell’algebra lineare (teorema di Rouché-Capelli) ci assicura però che un sistema ammette una soluzione unica solo se;il numero delle equazioni che lo compone pareggia il numero delle sue incognite: dobbiamo allora inserire;altre 10 equazioni per rendere lo studio del moto di un fluido fattibile.

Nella pratica, in realtà questo si fa aggiungendo una ulteriore incognita, la temperatura, oltre ad altre 6 equazioni che modellizzano il tensore degli sforzi viscosi, altre 3;equazioni che modellizzano lo scambio di calore (flusso alla Fourier) e 2 equazioni di stato termodinamiche per il fluido in questione. Il sistema di equazioni di Navier Stokes diventa allora;un sistema di 16 equazioni in 16 incognite, da risolvere specificando opportune condizioni iniziali e condizioni al bordo.

Come avrete sicuramente intuito, questo sistema, quando riguarda lo studio di un flusso attorno ad una geometria particolarmente complessa,;è parecchio difficile da risolvere anche con i più potenti computer:;i tempi di calcolo per il flusso attorno ad un aereo vanno realisticamente a diventare lunghi anche diverse settimane. Si capisce allora che non si può ritenere utile avere a;che fare con questi mostri differenziali in fase di progettazione: quello che si fa è inserire delle ipotesi semplificative che rendano queste equazioni molto più semplici da digerire.

Tra qualche giorno, nel prossimo articolo, vi illustrerò come queste spaventose formule possano in realtà addolcirsi parecchio, facendo alcune piccole considerazioni. Prenderemo inoltre confidenza con due concetti essenziali: la vorticità e lo strato limite. A presto!

Analisi Tecnica F1 | Aerodinamica: vorticità e strato limite

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