Abbiamo visto in questo articolo quanto le equazioni del moto di un fluido inteso come mezzo omogeneo continuo nello spazio (equazioni di Navier-Stokes) siano complesse e difficili a risolversi.
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Numero di Mach
Nella pratica, però, si possono molto spesso fare delle semplificazioni che derivano da alcune ipotesi lecite. Intanto, definiamo il numero di Mach come il rapporto tra la velocità di un corpo in moto in un fluido e la sua rispettiva velocità del suono:
$latex M=\frac{|\vec v|}{a}=\frac{|\vec v|}{\sqrt{\gamma R T}}&s=1$
In effetti, la velocità del suono non è una costante fisica, ma dipende dalla temperatura. In generale, sul livello del mare e ad una temperatura di 15°C, la velocità del suono vale:
$latex a=340,3 m/s&s=1$
Flusso incomprimibile
Alla luce di quanto visto finora, si parla ingegneristicamente di flusso incomprimibile quando il suo numero di Mach caratteristico non supera 0,3:
$latex M<0.3&s=1$
Questa ipotesi non è praticabile in campo aeronautico, basti pensare che alla quota di crociera un Boeing 737-800 (per intenderci, l’aereo della Ryanair) vola a Mach 0.89, ma diventa più che lecita in campo automobilistico: una vettura lanciata a 250 km/h raggiunge infatti più o meno Mach 0.2. Questa ipotesi ci permette di semplificare parecchio le equazioni di Navier Stokes viste in precedenza: un flusso incomprimibile ci permette di trascurare le variazioni di volume e di considerare la densità dell’aria costante. Risparmiandovi i passaggi che da qui in avanti rischiano di diventare troppo tecnici, le equazioni del moto per un flusso incomprimibile diventano:
l $latex div \vec{v}=0&s=1$
i $latex \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla \vec v= \vec f – \frac{\nabla P}{\rho} +\nu \Delta \vec v&s=1$
l $latex \frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T= \frac{\Phi + k \Delta T}{\rho c_V}&s=1$
Dove la prima è il bilancio di massa, la seconda è il bilancio della quantità di moto e la terza è il bilancio dell’energia interna. Le prime due equazioni sono stavolta disaccoppiate dalla terza: questo significa che per lo studio del moto di un flusso incomprimibile non è necessario considerare anche la sua energia, tanto che molto spesso l’equazione di bilancio dell’energia interna non viene nemmeno risolta e la temperatura viene detta, per questo, scalare passivo. Nonostante questa utile semplificazione, il sistema di equazioni del moto resta però un sistema di equazioni differenziali evolutivo e non lineare, ma non ci scoraggiamo: vedremo che c’è un’altra ipotesi che ci semplificherà la vita di parecchio.
Vorticità
Senza scendere in termini troppo rigorosi, possiamo qualitativamente definire la vorticità come la tendenza di un flusso ad incurvarsi, a ruotare e a contorcersi anziché proseguire in linea retta, formando, appunto, dei vortici. Se, oltre all’ipotesi di flusso incomprimibile, facessimo anche l’ipotesi di flusso irrotazionale e stazionario, il sistema di equazioni caratteristiche del moto di un fluido si semplificherebbe veramente di tantissimo: e infatti, il bilancio di massa e di quantità di moto diventerebbero:
$latex \Delta\vec{v}=0&s=1$
$latex \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}=cost&s=1$
In cui la prima equazione è ancora un’equazione differenziale (equazione di Laplace), ma è una tra le più studiate della fisica e di cui si conoscono parecchie soluzioni elementari. La seconda equazione, il bilancio di quantità di moto, è invece ormai diventata una semplice equazione algebrica, che ci restituisce la proporzionalità tra pressione e velocità in ogni punto. Avete mai sentito parlare del teorema di Bernoulli? Ecco, è proprio lui: il bilancio di quantità di moto per un flusso incomprimibile, irrotazionale e stazionario coincide col famosissimo teorema di Bernoulli, che molti di voi avranno già sentito nominare.
Un’ipotesi lecita?
Abbiamo visto poco fa che l’ipotesi di flusso incomprimibile è senz’altro lecita nello studio del moto di una vettura da competizione. Abbiamo anche visto che il sistema di equazioni risolventi per un flusso incomprimibile e irrotazionale è molto semplice da risolvere: purtroppo,;però, l’ipotesi di flusso irrotazionale non è mai valida quando un flusso deve aggirare una geometria solida. In effetti, quando l’aria investe un oggetto dotato di una certa geometria, le;particelle d’aria che vanno a contatto col contorno del corpo sono rallentate moltissimo dalle forze di attrito, mentre quelle che vi scorrono un po’ più distanti mantengono la loro velocità asintotica.
Questa differenza di velocità che si instaura tra quelle particelle d’aria che scorrono vicino al corpo solido e tra quelle altre che vi scorrono lontano, non risentendo degli effetti viscosi dovuti all’attrito, fa;incurvare il flusso, che si contorce e forma dei… vortici. Sembra allora che l’ipotesi di flusso irrotazionale non sia proprio valida: in effetti, se volessimo risolvere le equazioni del moto sotto a tale;ipotesi, raggiungeremmo un risultato sorprendente, e;cioè che per qualsiasi geometria e condizione di flusso, la risultante delle forze aerodinamiche agenti sul corpo sarebbe sempre uguale a zero (paradosso di D’Alembert). In altre parole, le forze aerodinamiche (portanza, resistenza, momento) dipendono proprio dagli effetti viscosi dovuti alla vorticità.
Strato limite
Non disperiamo, però! il lampo di genio del fisico tedesco Ludwig Prandtl fu quello di dividere la regione di spazio intorno ad un corpo solido investito da;un flusso in due zone distinte: una;zona, molto sottile e attaccata al corpo, in cui i termini viscosi sono pressappoco dello stesso ordine di grandezza delle forze di;inerzia e quindi presentano un contributo non trascurabile, e un’altra zona, un po’ più lontano dal corpo, dove i;termini viscosi diventano trascurabili e;dunque si può considerare la vorticità nulla. In pratica, Prandtl ha concentrato lo strato di vorticità dentro ad una regione adiacente al corpo solido che in letteratura è conosciuta come boundary layer… il famoso strato limite.
Procedura per il calcolo delle forze aerodinamiche
Le forze aerodinamiche, come abbiamo visto, dipendono dagli effetti viscosi e dunque devono necessariamente tener conto della vorticità. Operativamente, la;procedura per risolvere in via numerica le equazioni del moto;attorno ad un corpo è;allora la seguente:
- Si risolvono per prime il bilancio di massa e il bilancio di quantità di moto sotto le ipotesi di;flusso incomprimibile e irrotazionale lontano dal corpo, ricavando il campo di velocità dal bilancio di massa e;il campo di pressione dal bilancio di quantità di moto;
- Si risolvono le equazioni del moto senza fare l’ipotesi di flusso irrotazionale, ma considerando il campo di velocità all’esterno dello strato limite e;la pressione all’esterno dello strato limite non come incognite, ma come dati del problema, usando i valori forniti dal;passo 1 ricavando le forze aerodinamiche.
Questi passaggi (che sono chiamati, in gergo, iterazioni) e;che alternano le equazioni lontano dal corpo e vicino al corpo sono il fondamento della fluidodinamica computazionale e;vengono eseguiti in alternanza10,;100,;1000 volte, o quantomeno fino a quando non si raggiunge una precisione accettabile.
Una volta aver chiarito questi concetti, siamo quasi pronti a dedicarci all’analisi CFD di qualche particolare geometria.
Prima però, non ci resta che vedere come funzioni il meccanismo di generazione della;forza aerodinamica per eccellenza, quella che tiene in aria un velivolo e che schiaccia a;terra una vettura da competizione: vi do appuntamento al prossimo articolo per studiare il meccanismo di generazione della portanza. A presto!
